与えられた3つの関数について、それぞれの第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。 (1) $f(x) = \cos(3x)$ (2) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2x-3}$ (3) $f(x) = \frac{1}{(3x+1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。

(1) $f(x) = \cos(3x)$

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2x-3}$

(3) $f(x) = \frac{1}{(3x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \cos(3x)$の場合：

$f'(x) = -3\sin(3x)$

$f''(x) = -3^2\cos(3x)$

$f'''(x) = 3^3\sin(3x)$

$f''''(x) = 3^4\cos(3x)$

一般に、$f^{(n)}(x) = 3^n \cos(3x + \frac{n\pi}{2})$ となります。

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2x-3}$の場合：

まず、分母を因数分解します。

$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{2x+1}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}$

$2x+1 = A(x-1) + B(x+3)$

$x=1$のとき、$3 = 4B$より、$B = \frac{3}{4}$

$x=-3$のとき、$-5 = -4A$より、$A = \frac{5}{4}$

したがって、$f(x) = \frac{5}{4(x+3)} + \frac{3}{4(x-1)}$

$f(x) = \frac{5}{4}(x+3)^{-1} + \frac{3}{4}(x-1)^{-1}$

$f'(x) = \frac{5}{4}(-1)(x+3)^{-2} + \frac{3}{4}(-1)(x-1)^{-2}$

$f''(x) = \frac{5}{4}(-1)(-2)(x+3)^{-3} + \frac{3}{4}(-1)(-2)(x-1)^{-3}$

$f^{(n)}(x) = \frac{5}{4}(-1)^n n! (x+3)^{-(n+1)} + \frac{3}{4}(-1)^n n! (x-1)^{-(n+1)}$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{4} \left[ \frac{5}{(x+3)^{n+1}} + \frac{3}{(x-1)^{n+1}} \right]$

(3) $f(x) = \frac{1}{(3x+1)^2}$の場合：

$f(x) = (3x+1)^{-2}$

$f'(x) = -2(3x+1)^{-3} \cdot 3 = -6(3x+1)^{-3}$

$f''(x) = (-6)(-3)(3x+1)^{-4} \cdot 3 = 54(3x+1)^{-4}$

$f'''(x) = 54(-4)(3x+1)^{-5} \cdot 3 = -648(3x+1)^{-5}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{(n+1)!}{1!} 3^n (3x+1)^{-(n+2)}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n (n+1)! \cdot 3^n (3x+1)^{-(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = 3^n \cos(3x + \frac{n\pi}{2})$

(2) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{4} \left[ \frac{5}{(x+3)^{n+1}} + \frac{3}{(x-1)^{n+1}} \right]$

(3) $f^{(n)}(x) = (-1)^n (n+1)! \cdot 3^n (3x+1)^{-(n+2)}$

あるいは

(3) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n 3^n (n+1)!}{(3x+1)^{n+2}}$