方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことを示す問題です。

1. 問題の内容

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用します。

まず、$f(x) = (x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1$ とおきます。

$f(x)$ が連続関数であることを確認します。$\cos x$と$\sin x$は連続関数であり、$x^2 - 1$は多項式なので連続関数です。したがって、$f(x)$は連続関数です。

次に、$f(0)$と$f(1)$の符号を調べます。

$f(0) = (0^2 - 1)\cos 0 + \sqrt{2}\sin 0 - 1 = (-1)(1) + \sqrt{2}(0) - 1 = -1 - 1 = -2$

$f(1) = (1^2 - 1)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = (0)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = \sqrt{2}\sin 1 - 1$

$\sin 1$ の値は、$1$ ラジアンにおける正弦関数の値であり、$0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ なので $\sin 1 > 0$です。

また、$\sin 1 \approx 0.8415$ であるため、$\sqrt{2} \sin 1 - 1 \approx \sqrt{2}(0.8415) - 1 \approx 1.414(0.8415) - 1 \approx 1.189 - 1 = 0.189 > 0$ です。

したがって、$f(1) > 0$ となります。

$f(0) = -2 < 0$ かつ $f(1) = \sqrt{2}\sin 1 - 1 > 0$ であり、$f(x)$は連続関数なので、中間値の定理より、ある $c \in (0, 1)$ が存在して $f(c) = 0$ となります。

したがって、方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ は開区間 $(0, 1)$ において実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ は、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つ。