関数 $y = \frac{x^2 + x + 1}{e^x}$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 + x + 1}{e^x}$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。商の微分公式を用いると、

$$y' = \frac{(2x + 1)e^x - (x^2 + x + 1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{(2x + 1 - x^2 - x - 1)e^x}{e^{2x}} = \frac{(-x^2 + x)e^x}{e^{2x}} = \frac{-x^2 + x}{e^x} = \frac{x - x^2}{e^x}$$

となります。

(2) 次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値の候補となる点です。

$y' = \frac{x - x^2}{e^x} = 0$ より、$x - x^2 = 0$ となります（$e^x > 0$ なので）。

$x(1 - x) = 0$ を解くと、$x = 0, 1$ となります。

(3) $x = 0$ と $x = 1$ のそれぞれについて、$y''$ の符号を調べます。$y''$ を求めましょう。

$$y'' = \frac{(1 - 2x)e^x - (x - x^2)e^x}{(e^x)^2} = \frac{1 - 2x - x + x^2}{e^x} = \frac{x^2 - 3x + 1}{e^x}$$

$y''(0) = \frac{1}{e^0} = 1 > 0$ より、$x = 0$ で極小値をとります。その値は、$y(0) = \frac{0^2 + 0 + 1}{e^0} = 1$ です。

$y''(1) = \frac{1 - 3 + 1}{e^1} = \frac{-1}{e} < 0$ より、$x = 1$ で極大値をとります。その値は、$y(1) = \frac{1^2 + 1 + 1}{e^1} = \frac{3}{e}$ です。

3. 最終的な答え

関数 $y = \frac{x^2 + x + 1}{e^x}$ は、

$x = 0$ で極小値 1 をとり、

$x = 1$ で極大値 $\frac{3}{e}$ をとります。