以下の6つの式をそれぞれ評価または単純化します。 (1) $\sqrt{x(x+1)}$ (2) $\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^2}$ (3) $\frac{\log x}{x^2}$ (4) $\frac{2 \cos x}{\sin x}$ (5) $e^x \tan x$ (6) $3^x \log_3 x$

了解しました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの式をそれぞれ評価または単純化します。

(1) $\sqrt{x(x+1)}$

(2) $\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^2}$

(3) $\frac{\log x}{x^2}$

(4) $\frac{2 \cos x}{\sin x}$

(5) $e^x \tan x$

(6) $3^x \log_3 x$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{x(x+1)}$

この式は、ルートの中身を展開して$\sqrt{x^2+x}$とすることもできますが、特に単純化できるわけではありません。したがって、このままが最も簡単な表現です。

(2) $\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^2}$

分子の各項を分母で割ることで、式を単純化できます。

$\frac{x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

(3) $\frac{\log x}{x^2}$

この式は、対数関数を多項式で割った形であり、これ以上単純化はできません。

(4) $\frac{2 \cos x}{\sin x}$

$\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$の関係を使うと、この式は$2 \cot x$と表すことができます。

(5) $e^x \tan x$

この式は、指数関数と三角関数の積であり、これ以上単純化はできません。

(6) $3^x \log_3 x$

対数の性質$a^{\log_a x}=x$を利用して、$\log_3 x$を指数に変換すると、以下のようになります。

$3^x \log_3 x = 3^{\log_3 x} = x$

ただし、この変形は、元の問題が$3^{\log_3(x^x)}$を意味する場合のみ正しいです。元の問題が$3^x$と$\log_3 x$の積だと解釈すると、これ以上の単純化はできません。ここでは積だと解釈します。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{x(x+1)}$

(2) $x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

(3) $\frac{\log x}{x^2}$

(4) $2 \cot x$

(5) $e^x \tan x$

(6) $3^x \log_3 x$