正の実数全体を定義域とする関数 $f(x) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ と $g(x) = 4x^2 - \frac{2}{x}$ に対し、$h(x) = g(f^{-1}(x))$ と定めるとき、$h^{-1}(5)$ を求めよ。

1. 問題の内容

正の実数全体を定義域とする関数 $f(x) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ と $g(x) = 4x^2 - \frac{2}{x}$ に対し、$h(x) = g(f^{-1}(x))$ と定めるとき、$h^{-1}(5)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$h(x) = g(f^{-1}(x))$ より、$h^{-1}(x) = f(g^{-1}(x))$ である。

したがって、$h^{-1}(5) = f(g^{-1}(5))$ を計算すればよい。

$g(x) = 5$ となる $x$ を求めると、

$4x^2 - \frac{2}{x} = 5$

$4x^3 - 2 = 5x$

$4x^3 - 5x - 2 = 0$

$(x- \frac{1}{2})(4x^2 + 2x + 4) = 0$

$4x^2+2x+4=0$ の判別式は$D = 2^2 - 4 \times 4 \times 4 = 4-64=-60<0$であるので、解は実数ではない。よって、$x = -\frac{1}{2}, x = 2, x = - \frac{1}{2}$ が解となるので、$g^{-1}(5) = 2$.

したがって、$g^{-1}(5) = 2$ である。

$h^{-1}(5) = f(g^{-1}(5)) = f(2) = 2^3 - \frac{1}{2^3} = 8 - \frac{1}{8} = \frac{64}{8} - \frac{1}{8} = \frac{63}{8}$.

3. 最終的な答え

$\frac{63}{8}$