画像に示された6つの数式について、それぞれどのような問題なのかが不明です。微分、積分、簡略化など、どのような操作が必要なのかが指示されていません。ここでは、それぞれの式を書き出し、必要に応じて式を簡略化します。

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像に示された6つの数式について、それぞれどのような問題なのかが不明です。微分、積分、簡略化など、どのような操作が必要なのかが指示されていません。ここでは、それぞれの式を書き出し、必要に応じて式を簡略化します。

2. 解き方の手順

各数式に対して、以下の手順で処理を行います。

(1) $\sqrt{x(x+1)}$

この式は、根号の中を展開することで少し整理できます。

$\sqrt{x(x+1)} = \sqrt{x^2 + x}$

これ以上の簡単な整理は難しいでしょう。

(2) $\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^2}$

この式は、各項を$x^2$で割ることで簡略化できます。

$\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

(3) $\frac{\log x}{x^2}$

この式は、そのままの形が最も簡潔です。特に操作できることはありません。

(4) $\frac{2\cos x}{\sin x}$

この式は、$2 \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$ と書き換えられます。 $\frac{\cos x}{\sin x}$ は $\cot x$ と定義されるので、

$\frac{2\cos x}{\sin x} = 2 \cot x$

(5) $e^x \tan x$

この式も、特に簡略化できる部分はありません。そのままです。

(6) $3^{\log_3 x}$

対数の性質を利用します。$a^{\log_a x} = x$ であるため、

$3^{\log_3 x} = x$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{x^2 + x}$

(2) $x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

(3) $\frac{\log x}{x^2}$

(4) $2 \cot x$

(5) $e^x \tan x$

(6) $x$