(1) 関数 $f(x) = x^2 + 1$ ($x \ge 0$) の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、その定義域を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点と曲線 $y = f^{-1}(x)$ 上の点を結ぶとき、その2点間の距離の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 + 1$ ($x \ge 0$) の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、その定義域を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点と曲線 $y = f^{-1}(x)$ 上の点を結ぶとき、その2点間の距離の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 逆関数を求める。

まず、$y = f(x) = x^2 + 1$ とおく。

$x$ について解く。

$x^2 = y - 1$

$x = \pm \sqrt{y - 1}$

$x \ge 0$ より、$x = \sqrt{y - 1}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、$y = \sqrt{x - 1}$

よって、$f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$

定義域は、$x - 1 \ge 0$ より、$x \ge 1$

(2) 距離の最小値を求める。

$y = f(x)$ 上の点を $(t, t^2+1)$ とすると、$y = f^{-1}(x)$ 上の点は $(t^2+1, t)$ となる。

この2点間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(t^2+1 - t)^2 + (t - (t^2+1))^2} = \sqrt{2(t^2 - t + 1)^2} = \sqrt{2} |t^2 - t + 1|$

$t^2 - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$t \ge 0$ より、$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{3}{4}$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$d = \sqrt{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

別の解法として、$y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ は直線 $y=x$ に関して対称であるため、$y=f(x)$ 上の点と $y=f^{-1}(x)$ 上の点の距離の最小値は、$y=f(x)$ 上の点と直線 $y=x$ との距離の2倍になる。

$d = \frac{|t^2+1-t|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \times 2 = \sqrt{2}|t^2-t+1|$

上記と同じく、$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$, 定義域: $x \ge 1$

(2) $\frac{3\sqrt{2}}{4}$