$\theta$ が与えられたとき、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値を求める問題です。 (1) $\theta = \frac{23}{6}\pi$ (2) $\theta = -\frac{13}{4}\pi$ (3) $\theta = \frac{7}{2}\pi$

1. 問題の内容

$\theta$ が与えられたとき、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値を求める問題です。

(1) $\theta = \frac{23}{6}\pi$

(2) $\theta = -\frac{13}{4}\pi$

(3) $\theta = \frac{7}{2}\pi$

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{23}{6}\pi$ について

$\frac{23}{6}\pi = \frac{24}{6}\pi - \frac{1}{6}\pi = 4\pi - \frac{1}{6}\pi = 2(2\pi) - \frac{\pi}{6}$.

これは $2\pi$ を2回転して $-\frac{\pi}{6}$ の位置にあるので、$-\frac{\pi}{6}$ と同じ位置にあると考えることができます。

$\sin(\frac{23}{6}\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\frac{23}{6}\pi) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{23}{6}\pi) = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\theta = -\frac{13}{4}\pi$ について

$-\frac{13}{4}\pi = -\frac{12}{4}\pi - \frac{1}{4}\pi = -3\pi - \frac{1}{4}\pi = -2\pi - \frac{5}{4}\pi$.

これは $-2\pi$ を1回転して $-\frac{5}{4}\pi$ の位置にあるので、$-\frac{5}{4}\pi$ と同じ位置にあると考えることができます。

$-\frac{5}{4}\pi = -\pi - \frac{\pi}{4}$ より、$-\pi$ からさらに $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転した位置にあります。 $-\frac{5}{4}\pi$ は $\frac{3}{4}\pi$ と同じ位置にあります。

$\sin(-\frac{13}{4}\pi) = \sin(\frac{3}{4}\pi) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{13}{4}\pi) = \cos(\frac{3}{4}\pi) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{13}{4}\pi) = \tan(\frac{3}{4}\pi) = \frac{\sin(\frac{3}{4}\pi)}{\cos(\frac{3}{4}\pi)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

(3) $\theta = \frac{7}{2}\pi$ について

$\frac{7}{2}\pi = \frac{6}{2}\pi + \frac{1}{2}\pi = 3\pi + \frac{1}{2}\pi = 2\pi + \frac{3}{2}\pi$.

これは $2\pi$ を1回転して $\frac{3}{2}\pi$ の位置にあるので、$\frac{3}{2}\pi$ と同じ位置にあると考えることができます。

$\sin(\frac{7}{2}\pi) = \sin(\frac{3}{2}\pi) = -1$

$\cos(\frac{7}{2}\pi) = \cos(\frac{3}{2}\pi) = 0$

$\tan(\frac{7}{2}\pi) = \tan(\frac{3}{2}\pi) = \frac{\sin(\frac{3}{2}\pi)}{\cos(\frac{3}{2}\pi)} = \frac{-1}{0}$. これは定義されません。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{23}{6}\pi$:

$\sin(\frac{23}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$, $\cos(\frac{23}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(\frac{23}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\theta = -\frac{13}{4}\pi$:

$\sin(-\frac{13}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(-\frac{13}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(-\frac{13}{4}\pi) = -1$

(3) $\theta = \frac{7}{2}\pi$:

$\sin(\frac{7}{2}\pi) = -1$, $\cos(\frac{7}{2}\pi) = 0$, $\tan(\frac{7}{2}\pi)$ は定義されない