与えられた2階線形同次微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -3x - 2\frac{dx}{dt}$ を、初期条件 $t=0$ で $x=0$ かつ $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解き、その解が $x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{A}}e^{-t}\sin\sqrt{B}t + Ce^{-t}\cos\sqrt{B}t$ の形で与えられている。このとき、A, B, C に当てはまる整数値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2階線形同次微分方程式

$\frac{d^2x}{dt^2} = -3x - 2\frac{dx}{dt}$

を、初期条件 $t=0$ で $x=0$ かつ $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解き、その解が

$x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{A}}e^{-t}\sin\sqrt{B}t + Ce^{-t}\cos\sqrt{B}t$

の形で与えられている。このとき、A, B, C に当てはまる整数値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式を整理する。

与えられた微分方程式は、

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + 3x = 0$

と書き換えられる。

(2) 特性方程式を解く。

この微分方程式に対応する特性方程式は

$r^2 + 2r + 3 = 0$

である。これを解くと、

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

となる。

(3) 一般解を求める。

特性方程式の解が $r = -1 \pm i\sqrt{2}$ であるから、一般解は

$x(t) = e^{-t}(c_1 \cos(\sqrt{2}t) + c_2 \sin(\sqrt{2}t))$

となる。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数である。

(4) 初期条件を適用する。

$x(0) = 0$ より、

$x(0) = e^0 (c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 0$

したがって、$c_1 = 0$ となり、

$x(t) = c_2 e^{-t} \sin(\sqrt{2}t)$

となる。

次に、$\frac{dx}{dt} = v_0$ を $t=0$ で適用する。まず、$\frac{dx}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = c_2 (-e^{-t} \sin(\sqrt{2}t) + \sqrt{2}e^{-t} \cos(\sqrt{2}t))$

$t=0$ で $\frac{dx}{dt} = v_0$ であるから、

$\frac{dx}{dt}(0) = c_2 (-e^0 \sin(0) + \sqrt{2}e^0 \cos(0)) = c_2 \sqrt{2} = v_0$

したがって、$c_2 = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ となる。

(5) A, B, C の値を決定する。

以上より、$x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{2}} e^{-t} \sin(\sqrt{2}t)$ である。

与えられた解の形と比較すると、

$x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{A}} e^{-t} \sin(\sqrt{B}t) + C e^{-t} \cos(\sqrt{B}t)$

$A = 2$, $B = 2$, $C = 0$

となる。

3. 最終的な答え

A = 2

B = 2

C = 0