$n \ge 1$ のとき、関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。 問題は二つあります。 4) $f(x) = 8\sin^2{x}(1-\sin^2{x})$ 5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

1. 問題の内容

$n \ge 1$ のとき、関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。

問題は二つあります。

4) $f(x) = 8\sin^2{x}(1-\sin^2{x})$

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

2. 解き方の手順

4) の解き方：

まず、$f(x)$ を簡単にする。

$f(x) = 8\sin^2{x}(1-\sin^2{x}) = 8\sin^2{x}\cos^2{x} = 2(4\sin^2{x}\cos^2{x}) = 2(2\sin{x}\cos{x})^2 = 2(\sin{2x})^2 = 2\sin^2{2x}$

ここで、$\sin^2{2x} = \frac{1-\cos{4x}}{2}$ を用いると、

$f(x) = 2(\frac{1-\cos{4x}}{2}) = 1-\cos{4x}$

次に、$f(x)$ の $n$ 階導関数を求める。

$f'(x) = 4\sin{4x}$

$f''(x) = 16\cos{4x} = 4^2\cos{4x}$

$f'''(x) = -64\sin{4x} = -4^3\sin{4x}$

$f^{(4)}(x) = -256\cos{4x} = -4^4\cos{4x}$

$f^{(n)}(x) = 4^n(-\cos(4x+\frac{n\pi}{2}))$

$f^{(n)}(x) = -4^n\cos(4x+\frac{n\pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = 4^n(-\cos(4x+\frac{n\pi}{2}))$

5) の解き方：

まず、$f(x)$ を部分分数分解する。

$\frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1$ のとき、$12 = A(1)(2)(3) = 6A \implies A = 2$

$x = -2$ のとき、$12 = B(-1)(1)(2) = -2B \implies B = -6$

$x = -3$ のとき、$12 = C(-2)(-1)(1) = 2C \implies C = 6$

$x = -4$ のとき、$12 = D(-3)(-2)(-1) = -6D \implies D = -2$

したがって、$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$(x+a)^{-1}$ の $n$ 階微分は $(-1)^n n! (x+a)^{-n-1}$ であることを用いると、

$f^{(n)}(x) = 2(-1)^n n! (x+1)^{-n-1} - 6(-1)^n n! (x+2)^{-n-1} + 6(-1)^n n! (x+3)^{-n-1} - 2(-1)^n n! (x+4)^{-n-1}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! [2(x+1)^{-n-1} - 6(x+2)^{-n-1} + 6(x+3)^{-n-1} - 2(x+4)^{-n-1}]$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! [\frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}}]$

3. 最終的な答え

4) $f^{(n)}(x) = -4^n\cos(4x+\frac{n\pi}{2})$

5) $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! [\frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}}]$