与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。 具体的には、以下の関数について求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。

具体的には、以下の関数について求めます。

2. $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$

3. $f(x) = x^2 \cdot 4^x$

4. $f(x) = 8\sin^2 x (1 - \sin^2 x)$

5. $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

2. 解き方の手順

**2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$**

2倍角の公式 $2\cos^2\theta - 1 = \cos(2\theta)$ を利用します。

$f(x) = e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18})$

$f'(x) = -2e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18}) - 2e^{-2x} \sin(2x + \frac{\pi}{18}) = -2e^{-2x}(\cos(2x + \frac{\pi}{18}) + \sin(2x + \frac{\pi}{18}))$

ここで、三角関数の合成を利用します。$A \cos \theta + B \sin \theta = \sqrt{A^2 + B^2} \cos(\theta - \alpha)$, where $\tan \alpha = \frac{B}{A}$.

$\cos(2x + \frac{\pi}{18}) + \sin(2x + \frac{\pi}{18}) = \sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos(2x - \frac{7\pi}{36})$

Therefore,

$f'(x) = -2\sqrt{2}e^{-2x}\cos(2x - \frac{7\pi}{36})$

$f''(x) = (-2)(-2\sqrt{2})e^{-2x} \cos(2x - \frac{7\pi}{36}) + (-2\sqrt{2})e^{-2x}(-2\sin(2x - \frac{7\pi}{36})) = 4\sqrt{2}e^{-2x}\cos(2x - \frac{7\pi}{36}) + 4\sqrt{2}e^{-2x}\sin(2x - \frac{7\pi}{36}) = 4\sqrt{2}e^{-2x}[\cos(2x - \frac{7\pi}{36}) + \sin(2x - \frac{7\pi}{36})] = 4\sqrt{2}e^{-2x} \sqrt{2} \cos(2x - \frac{7\pi}{36} - \frac{\pi}{4}) = 8e^{-2x} \cos(2x - \frac{16\pi}{36}) = 8e^{-2x} \cos(2x - \frac{4\pi}{9})$

$f^{(n)}(x) = 2^{n}e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{2})$

**3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$**

$4^x = e^{x\ln 4}$ なので、$f(x) = x^2 e^{x \ln 4}$

$f'(x) = 2x e^{x \ln 4} + x^2 (\ln 4) e^{x \ln 4} = e^{x \ln 4}(2x + x^2 \ln 4)$

$f''(x) = e^{x \ln 4}(\ln 4)(2x + x^2 \ln 4) + e^{x \ln 4}(2 + 2x \ln 4) = e^{x \ln 4}[x^2 (\ln 4)^2 + 4x \ln 4 + 2]$

$f'''(x) = e^{x \ln 4}(\ln 4)[x^2 (\ln 4)^2 + 4x \ln 4 + 2] + e^{x \ln 4}[2x (\ln 4)^2 + 4 \ln 4] = e^{x \ln 4}[x^2 (\ln 4)^3 + 6x (\ln 4)^2 + 6 \ln 4]$

ライプニッツの公式を利用すると、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (4^x)^{(n-k)}$

$(x^2)^{(0)} = x^2, (x^2)^{(1)} = 2x, (x^2)^{(2)} = 2, (x^2)^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$(4^x)^{(n)} = (\ln 4)^n 4^x$

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} x^2 (\ln 4)^n 4^x + \binom{n}{1} 2x (\ln 4)^{n-1} 4^x + \binom{n}{2} 2 (\ln 4)^{n-2} 4^x$

$f^{(n)}(x) = 4^x [x^2 (\ln 4)^n + 2n x (\ln 4)^{n-1} + n(n-1)(\ln 4)^{n-2}]$

**4) $f(x) = 8\sin^2 x (1 - \sin^2 x)$**

$f(x) = 8\sin^2 x \cos^2 x = 2 (4\sin^2 x \cos^2 x) = 2 (2\sin x \cos x)^2 = 2(\sin 2x)^2 = 2\sin^2 2x = 1 - \cos 4x$

$f'(x) = 4\sin 4x$

$f''(x) = 16\cos 4x$

$f'''(x) = -64\sin 4x$

$f^{(4)}(x) = -256\cos 4x$

$f^{(n)}(x) = 4^n (-\cos(4x + \frac{(n-2)\pi}{2}))$ if $n \ge 2$ and $n$ is even

$f^{(n)}(x) = 4^n \sin(4x + \frac{(n-1)\pi}{2})$ if $n$ is odd

$f^{(n)}(x) = 4^n \cos(4x + \frac{n\pi}{2} - \pi)$

**5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$**

部分分数分解を行います。

$\frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1$: $12 = A(1)(2)(3) = 6A \implies A = 2$

$x = -2$: $12 = B(-1)(1)(2) = -2B \implies B = -6$

$x = -3$: $12 = C(-2)(-1)(1) = 2C \implies C = 6$

$x = -4$: $12 = D(-3)(-2)(-1) = -6D \implies D = -2$

$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$(\frac{1}{x+a})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = 2 \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} - 6 \frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}} + 6 \frac{(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}} - 2 \frac{(-1)^n n!}{(x+4)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! [\frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}}]$

3. 最終的な答え

4. $f^{(n)}(x) = 2^{n}e^{-2x}\cos(2x+\frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{2})$

5. $f^{(n)}(x) = 4^x [x^2 (\ln 4)^n + 2n x (\ln 4)^{n-1} + n(n-1)(\ln 4)^{n-2}]$

6. $f^{(n)}(x) = 4^n \cos(4x + \frac{n\pi}{2} - \pi)$

7. $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! [\frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}}]$