ライプニッツの定理を用いて、$y = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

ライプニッツの定理を用いて、$y = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの定理は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求めるためのもので、次の式で表されます。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u^{(k)}$ は $u$ の $k$ 次導関数、 $v^{(n-k)}$ は $v$ の $(n-k)$ 次導関数、$\binom{n}{k}$ は二項係数です。

この問題では、$y = x \sin x$ なので、$u(x) = x$、$v(x) = \sin x$ とおきます。

$u(x) = x$ の導関数は以下のようになります。

$u'(x) = 1$

$u''(x) = 0$

$u^{(k)}(x) = 0$ ($k \ge 2$)

$v(x) = \sin x$ の導関数は以下のようになります。

$v'(x) = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

$v''(x) = -\sin x = \sin(x + \pi)$

$v^{(k)}(x) = \sin(x + \frac{k\pi}{2})$

したがって、ライプニッツの定理を用いると、

$y^{(n)} = (x \sin x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{(k)} (\sin x)^{(n-k)}$

$x$ の導関数は2回以上行うと0になるので、$k=0, 1$ の項のみが残ります。

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x (\sin x)^{(n)} + \binom{n}{1} x' (\sin x)^{(n-1)}$

$= x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$= x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{2})$

$= x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$