定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log(x^2) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log(x^2) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、積分を簡略化します。

$\log(x^2) = 2 \log(x)$であるから、

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log(x^2) dx = \int_{1}^{4} \sqrt{x} (2 \log(x)) dx = 2 \int_{1}^{4} \sqrt{x} \log(x) dx$

部分積分を用いて、積分を計算します。

$u = \log(x)$, $dv = \sqrt{x} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ となります。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ ですから、

$2 \int_{1}^{4} \sqrt{x} \log(x) dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log(x) \right]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= 2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log(x) \right]_{1}^{4} - \frac{4}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx$

$= 2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log(x) \right]_{1}^{4} - \frac{4}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4}$

$= 2 \left( \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} \log(4) - \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} \log(1) \right) - \frac{4}{3} \left( \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} \right)$

$= 2 \left( \frac{2}{3} (8) \log(4) - 0 \right) - \frac{4}{3} \left( \frac{2}{3} (8) - \frac{2}{3} (1) \right)$

$= \frac{32}{3} \log(4) - \frac{4}{3} \left( \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \right)$

$= \frac{32}{3} \log(4) - \frac{4}{3} \left( \frac{14}{3} \right)$

$= \frac{32}{3} \log(4) - \frac{56}{9}$

$= \frac{32}{3} \log(2^2) - \frac{56}{9}$

$= \frac{32}{3} (2 \log(2)) - \frac{56}{9}$

$= \frac{64}{3} \log(2) - \frac{56}{9}$

$= \frac{192 \log(2) - 56}{9}$

$= \frac{8(24 \log(2) - 7)}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{3} \log(2) - \frac{56}{9}$

または

$\frac{8(24 \log(2) - 7)}{9}$