与えられた極限を計算し、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求める問題です。具体的には、以下の4つの極限を考える必要があります。 (1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$ (3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$ (4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算し、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求める問題です。具体的には、以下の4つの極限を考える必要があります。

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

$x \to 1+0$ は、$x$ が $1$ より大きい値から $1$ に近づくことを意味します。したがって、$x > 1$ であり、$x-1 > 0$ なので、$|x-1| = x-1$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} 1 = 1$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

$x \to 2-0$ は、$x$ が $2$ より小さい値から $2$ に近づくことを意味します。したがって、$x < 2$ であり、$x-2 < 0$ です。$x$ が $2$ に近づくにつれて、$x-2$ は $0$ に近づきますが、常に負の値です。したがって、$\frac{1}{x-2}$ は負の無限大に発散します。

$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty$

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$

$x \to -2-0$ は、$x$ が $-2$ より小さい値から $-2$ に近づくことを意味します。したがって、$x < -2$ であり、$x+2 < 0$ です。しかし、$x+2$ を2乗しているので、$(x+2)^2 > 0$ となり、$x$ が $-2$ に近づくにつれて、$(x+2)^2$ は $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{(x+2)^2}$ は正の無限大に発散します。

$\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2} = +\infty$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

$x$ が $-1$ に近づくとき、$|x+1|$ は $0$ に近づきます。$|x+1|$ は常に非負なので、$\frac{1}{|x+1|}$ は正の無限大に発散します。

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} = +\infty$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1} = 1$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty$ (発散)

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2} = +\infty$ (発散)

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} = +\infty$ (発散)