曲線 $y = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$y = 0$ となる $x$ を求めるので、

$x^3 - x^2 - 2x = 0$

$x(x^2 - x - 2) = 0$

$x(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、$x = -1, 0, 2$ が交点の $x$ 座標となります。

次に、それぞれの区間における定積分を計算します。

$x = -1$ から $x = 0$ の区間では、$y = x^3 - x^2 - 2x$ は $x$ 軸の上側にあります。したがって、面積は以下のようになります。

$S_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx$

$= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{-1}^{0}$

$= 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{3} - 1 \right)$

$= -\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1\right) = -\left(\frac{3+4-12}{12}\right) = -\left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{5}{12}$

$x = 0$ から $x = 2$ の区間では、$y = x^3 - x^2 - 2x$ は $x$ 軸の下側にあります。したがって、面積は以下のようになります。

$S_2 = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) dx \right|$

$= \left| \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{0}^{2} \right|$

$= \left| \frac{1}{4}(2^4) - \frac{1}{3}(2^3) - 2^2 - 0 \right|$

$= \left| 4 - \frac{8}{3} - 4 \right| = \left| -\frac{8}{3} \right| = \frac{8}{3}$

したがって、求める面積の和 $S$ は、

$S = S_1 + S_2 = \frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{37}{12}$