与えられた2階線形非同次微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。 $\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 4y = x^2$

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。

$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 4y = x^2$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式の解を求めます。次に、非同次方程式の特殊解を求めます。最後に、同次方程式の解と特殊解を足し合わせて、一般解を求めます。

(1) 同次方程式の解

同次方程式は次の通りです。

$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} - 4y = 0$

特性方程式は $r^2 + 3r - 4 = 0$ となります。

これを解くと、$r = 1, -4$ となります。

したがって、同次方程式の一般解は $y_h = C_1e^x + C_2e^{-4x}$ となります。ここで、$C_1$ と $C_2$ は任意定数です。

(2) 特殊解

非同次方程式の右辺が $x^2$ であるため、特殊解を $y_p = Ax^2 + Bx + C$ と仮定します。

これを微分すると、

$\frac{dy_p}{dx} = 2Ax + B$

$\frac{d^2y_p}{dx^2} = 2A$

となります。

これらを元の微分方程式に代入すると、

$2A + 3(2Ax + B) - 4(Ax^2 + Bx + C) = x^2$

$-4Ax^2 + (6A - 4B)x + (2A + 3B - 4C) = x^2$

係数を比較すると、

$-4A = 1$

$6A - 4B = 0$

$2A + 3B - 4C = 0$

したがって、

$A = -\frac{1}{4}$

$B = \frac{6A}{4} = \frac{6}{4} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{8}$

$C = \frac{2A + 3B}{4} = \frac{2(-\frac{1}{4}) + 3(-\frac{3}{8})}{4} = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{9}{8}}{4} = \frac{-\frac{4}{8} - \frac{9}{8}}{4} = \frac{-\frac{13}{8}}{4} = -\frac{13}{32}$

よって、特殊解は $y_p = -\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}x - \frac{13}{32}$ となります。

(3) 一般解

一般解は同次方程式の解と特殊解の和で与えられます。

$y = y_h + y_p = C_1e^x + C_2e^{-4x} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}x - \frac{13}{32}$

3. 最終的な答え

$y = C_1e^x + C_2e^{-4x} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{8}x - \frac{13}{32}$