与えられた関数 $f(x) = 8 \sin^2 x (1 - \sin^2 x)$ を三角関数の恒等式を用いて変形し、$2 \sin^2 2x$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = 8 \sin^2 x (1 - \sin^2 x)$ を三角関数の恒等式を用いて変形し、$2 \sin^2 2x$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ であるから、関数は次のように書き換えられます。

$f(x) = 8 \sin^2 x \cos^2 x$

ステップ2：係数 8 を $2 \cdot 4$ に分解し、さらに $4$ を $2^2$ に分解します。

$f(x) = 2 \cdot 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2 (2 \sin x \cos x)^2$

ステップ3：2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を適用します。

$f(x) = 2 (\sin 2x)^2$

ステップ4：$(\sin 2x)^2$ は $\sin^2 2x$ と同じ意味なので、

$f(x) = 2 \sin^2 2x$

3. 最終的な答え

$2 \sin^2 2x$