関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。 4) $f(x) = 8 \sin^2 x (1 - \sin^2 x)$ 5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。

4) $f(x) = 8 \sin^2 x (1 - \sin^2 x)$

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

2. 解き方の手順

4) まず、$f(x)$ を整理します。

$f(x) = 8 \sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 8 \sin^2 x \cos^2 x = 2 (2 \sin x \cos x)^2 = 2 (\sin 2x)^2 = 2 \sin^2 2x$

次に、$2 \sin^2 2x$ を $2$ 倍角の公式を使って変形します。

$2 \sin^2 2x = 1 - \cos 4x$

したがって、$f(x) = 1 - \cos 4x$ となります。

$f'(x) = 4 \sin 4x$

$f''(x) = 16 \cos 4x = 4^2 \cos 4x$

$f'''(x) = -64 \sin 4x = -4^3 \sin 4x$

$f^{(4)}(x) = -256 \cos 4x = -4^4 \cos 4x$

一般に、$f^{(n)}(x) = 4^n \cos (4x + \frac{n \pi}{2})$ となります。

5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$ を部分分数分解します。

$\frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

両辺に $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を掛けると

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1$ のとき $12 = A(1)(2)(3) \implies A = 2$

$x = -2$ のとき $12 = B(-1)(1)(2) \implies B = -6$

$x = -3$ のとき $12 = C(-2)(-1)(1) \implies C = 6$

$x = -4$ のとき $12 = D(-3)(-2)(-1) \implies D = -2$

よって、$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$\left(\frac{1}{x+a}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$ を使うと

$f^{(n)}(x) = 2 \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} - 6 \frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}} + 6 \frac{(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}} - 2 \frac{(-1)^n n!}{(x+4)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = 2 (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x+1)^{n+1}} - \frac{3}{(x+2)^{n+1}} + \frac{3}{(x+3)^{n+1}} - \frac{1}{(x+4)^{n+1}} \right)$

3. 最終的な答え

4) $f^{(n)}(x) = 4^n \cos (4x + \frac{n \pi}{2})$

5) $f^{(n)}(x) = 2 (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x+1)^{n+1}} - \frac{3}{(x+2)^{n+1}} + \frac{3}{(x+3)^{n+1}} - \frac{1}{(x+4)^{n+1}} \right)$