次の4つの関数をそれぞれ微分しなさい。 (1) $y = \frac{1}{x+1}$ (2) $y = \frac{1}{x^2-1}$ (3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$ (4) $y = \frac{x^3-4x+1}{x-2}$

はい、承知いたしました。画像にある4つの関数を微分します。

1. 問題の内容

次の4つの関数をそれぞれ微分しなさい。

(1) $y = \frac{1}{x+1}$

(2) $y = \frac{1}{x^2-1}$

(3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$

(4) $y = \frac{x^3-4x+1}{x-2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x+1}$ の微分

$y = (x+1)^{-1}$と表せるので、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = -1(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(2) $y = \frac{1}{x^2-1}$ の微分

$y = (x^2-1)^{-1}$と表せるので、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = -1(x^2-1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}$

(3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$ の微分

商の微分法を用いる。 $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x$, $v = x^2 - x + 1$とすると、$u' = 1$, $v' = 2x - 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1(x^2-x+1) - x(2x-1)}{(x^2-x+1)^2} = \frac{x^2-x+1 - 2x^2 + x}{(x^2-x+1)^2} = \frac{-x^2+1}{(x^2-x+1)^2}$

(4) $y = \frac{x^3-4x+1}{x-2}$ の微分

商の微分法を用いる。 $u = x^3 - 4x + 1$, $v = x-2$とすると、$u' = 3x^2 - 4$, $v' = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x^2-4)(x-2) - (x^3-4x+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{3x^3-6x^2-4x+8 - x^3+4x-1}{(x-2)^2} = \frac{2x^3-6x^2+7}{(x-2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2+1}{(x^2-x+1)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3-6x^2+7}{(x-2)^2}$