次の関数を微分せよ。 (1) $y = (x-1)^2$ (2) $y = (3x-1)^3$ (4) $y = (x^2 + 2x + 3)^2$ (5) $y = \frac{1}{(2x^3 + 3)^2}$ (6) $y = (x + \frac{1}{x})^3$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = (x-1)^2$

(2) $y = (3x-1)^3$

(4) $y = (x^2 + 2x + 3)^2$

(5) $y = \frac{1}{(2x^3 + 3)^2}$

(6) $y = (x + \frac{1}{x})^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)^2$

合成関数の微分法を用いる。$u = x-1$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 1 = 2(x-1) = 2x - 2$

(2) $y = (3x-1)^3$

合成関数の微分法を用いる。$u = 3x-1$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9(3x-1)^2 = 9(9x^2 - 6x + 1) = 81x^2 - 54x + 9$

(4) $y = (x^2 + 2x + 3)^2$

合成関数の微分法を用いる。$u = x^2 + 2x + 3$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot (2x + 2) = 2(x^2 + 2x + 3)(2x + 2) = 4(x^2 + 2x + 3)(x + 1) = 4(x^3 + 3x^2 + 5x + 3) = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $y = \frac{1}{(2x^3 + 3)^2} = (2x^3 + 3)^{-2}$

合成関数の微分法を用いる。$u = 2x^3 + 3$ とおくと、$y = u^{-2}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -2u^{-3} \cdot (6x^2) = -12x^2(2x^3 + 3)^{-3} = \frac{-12x^2}{(2x^3 + 3)^3}$

(6) $y = (x + \frac{1}{x})^3 = (x + x^{-1})^3$

合成関数の微分法を用いる。$u = x + x^{-1}$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (1 - x^{-2}) = 3(x + \frac{1}{x})^2(1 - \frac{1}{x^2}) = 3(x + \frac{1}{x})^2(\frac{x^2-1}{x^2})$

3. 最終的な答え

(1) $2x - 2$

(2) $81x^2 - 54x + 9$

(4) $4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $\frac{-12x^2}{(2x^3 + 3)^3}$

(6) $3(x + \frac{1}{x})^2(\frac{x^2-1}{x^2})$