次の3つの関数を微分せよ。 (1) $y = x^{-3}$ (2) $y = \frac{1}{x^4}$ (3) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x^3}$

1. 問題の内容

次の3つの関数を微分せよ。

(1) $y = x^{-3}$

(2) $y = \frac{1}{x^4}$

(3) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{-3}$ の場合、べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$

(2) $y = \frac{1}{x^4}$ の場合、まず $y = x^{-4}$ と書き換えてから、べき関数の微分公式を用いる。

$y' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$

(3) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x^3}$ の場合、まず式を整理する。

$y = \frac{x^2}{x^3} - \frac{x}{x^3} - \frac{2}{x^3} = x^{-1} - x^{-2} - 2x^{-3}$

それぞれの項を微分する。

$\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$

$\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}$

$\frac{d}{dx}x^{-3} = -3x^{-4}$

したがって、

$y' = -x^{-2} - (-2x^{-3}) - 2(-3x^{-4}) = -x^{-2} + 2x^{-3} + 6x^{-4} = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \frac{6}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x + 6}{x^4}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$

(2) $y' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$

(3) $y' = -x^{-2} + 2x^{-3} + 6x^{-4} = \frac{-x^2 + 2x + 6}{x^4}$