陰関数 $x^2 + y^2 = b$ を微分せよ。つまり、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

陰関数 $x^2 + y^2 = b$ を微分せよ。つまり、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

陰関数 $x^2 + y^2 = b$ の両辺を $x$ で微分する。

まず、$x^2$ を $x$ で微分すると $2x$ となる。

次に、$y^2$ を $x$ で微分すると、$2y \frac{dy}{dx}$ となる (連鎖律を使用)。

定数 $b$ を $x$ で微分すると $0$ となる。

したがって、$x$ で微分すると、

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

$\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y}$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$