与えられた曲線上の点における接線の方程式を求める問題が4つあります。 (1) 曲線 $y = x^3 - 5x + 7$ 上の点 $P(2, 5)$ における接線の方程式を求める。 (2) 曲線 $y = 3xe^x + 5$ 上の点 $P(0, 5)$ における接線の方程式を求める。 (3) 曲線 $y = x^{-1}\log x + \log 2$ ($x > 0$) 上の点 $P(1, \log 2)$ における接線の方程式を求める。 (4) 曲線 $y = 2e^x$ 上のある点 $P$ における接線 $l$ が原点を通るとき、この接線 $l$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点における接線の方程式を求める問題が4つあります。

(1) 曲線 $y = x^3 - 5x + 7$ 上の点 $P(2, 5)$ における接線の方程式を求める。

(2) 曲線 $y = 3xe^x + 5$ 上の点 $P(0, 5)$ における接線の方程式を求める。

(3) 曲線 $y = x^{-1}\log x + \log 2$ ($x > 0$) 上の点 $P(1, \log 2)$ における接線の方程式を求める。

(4) 曲線 $y = 2e^x$ 上のある点 $P$ における接線 $l$ が原点を通るとき、この接線 $l$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^3 - 5x + 7$ 上の点 $P(2, 5)$ における接線の方程式を求める。

まず、導関数を求める。

$y' = 3x^2 - 5$

点 $P(2, 5)$ における傾きは $y'(2) = 3(2)^2 - 5 = 12 - 5 = 7$

よって、接線の方程式は $y - 5 = 7(x - 2)$

$y = 7x - 14 + 5$

$y = 7x - 9$

(2) 曲線 $y = 3xe^x + 5$ 上の点 $P(0, 5)$ における接線の方程式を求める。

まず、導関数を求める。

$y' = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1 + x)$

点 $P(0, 5)$ における傾きは $y'(0) = 3e^0(1 + 0) = 3(1)(1) = 3$

よって、接線の方程式は $y - 5 = 3(x - 0)$

$y = 3x + 5$

(3) 曲線 $y = x^{-1}\log x + \log 2$ ($x > 0$) 上の点 $P(1, \log 2)$ における接線の方程式を求める。

まず、導関数を求める。

$y' = -x^{-2}\log x + x^{-1}\cdot \frac{1}{x} = -\frac{\log x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

点 $P(1, \log 2)$ における傾きは $y'(1) = \frac{1 - \log 1}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$

よって、接線の方程式は $y - \log 2 = 1(x - 1)$

$y = x - 1 + \log 2$

(4) 曲線 $y = 2e^x$ 上のある点 $P$ における接線 $l$ が原点を通るとき、この接線 $l$ の方程式を求める。

点 $P$ の座標を $(t, 2e^t)$ とする。

導関数は $y' = 2e^x$

点 $P$ における傾きは $2e^t$

よって、接線の方程式は $y - 2e^t = 2e^t(x - t)$

この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、代入する。

$0 - 2e^t = 2e^t(0 - t)$

$-2e^t = -2te^t$

$1 = t$ （$e^t \neq 0$ より）

$t = 1$

よって、点 $P$ の座標は $(1, 2e)$

傾きは $2e$

接線の方程式は $y - 2e = 2e(x - 1)$

$y = 2ex - 2e + 2e$

$y = 2ex$

3. 最終的な答え

(1) $y = 7x - 9$

(2) $y = 3x + 5$

(3) $y = x - 1 + \log 2$

(4) $y = 2ex$