与えられた2つの微分方程式の一般解を求める問題です。 (a) $y' = xy$ (b) $e^y = \frac{x}{y'}$

1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式の一般解を求める問題です。

(a) $y' = xy$

(b) $e^y = \frac{x}{y'}$

2. 解き方の手順

(a) $y' = xy$ の場合：

これは変数分離形の微分方程式なので、以下のように解きます。

$\frac{dy}{dx} = xy$

$\frac{dy}{y} = x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{1}{y} dy = \int x dx$

$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$

両辺を指数関数で処理します。

$|y| = e^{\frac{x^2}{2} + C_1} = e^{C_1}e^{\frac{x^2}{2}}$

$y = \pm e^{C_1}e^{\frac{x^2}{2}}$

$y = C e^{\frac{x^2}{2}}$ (ただし、$C = \pm e^{C_1}$ は任意定数)

(b) $e^y = \frac{x}{y'}$ の場合：

$e^y = \frac{x}{\frac{dy}{dx}}$

$e^y dy = \frac{x}{dx} dx$

$e^y dy = x dx$

両辺を積分します。

$\int e^y dy = \int x dx$

$e^y = \frac{x^2}{2} + C$

両辺の自然対数を取ります。

$y = \ln(\frac{x^2}{2} + C)$

3. 最終的な答え

(a) $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$

(b) $y = \ln(\frac{x^2}{2} + C)$