関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を $m(a)$ とする。 (1) $m(a)$ を求めよ。 (2) $b = m(a)$ のグラフを考え、$m(a)$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を $m(a)$ とする。

(1) $m(a)$ を求めよ。

(2) $b = m(a)$ のグラフを考え、$m(a)$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 2ax + 2a$ を平方完成すると、

$$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 2a$$

軸は $x = a$ である。定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(i) $a < 0$ のとき、最小値は $f(0) = 2a$ となる。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $f(a) = -a^2 + 2a$ となる。

(iii) $a > 2$ のとき、最小値は $f(2) = 4 - 4a + 2a = 4 - 2a$ となる。

したがって、

$$m(a) = \begin{cases} 2a & (a < 0) \\ -a^2 + 2a & (0 \le a \le 2) \\ 4 - 2a & (a > 2) \end{cases}$$

(2) $b = m(a)$ のグラフを考える。

(i) $a < 0$ のとき、$b = 2a$ であり、これは直線である。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、$b = -a^2 + 2a = -(a-1)^2 + 1$ であり、これは上に凸の放物線である。頂点は $(1, 1)$ である。

(iii) $a > 2$ のとき、$b = 4 - 2a$ であり、これは直線である。

$m(a)$ のグラフは、$a = 0$ で $2a = 0$ と $-a^2 + 2a = 0$ が一致し、$a = 2$ で $-a^2 + 2a = 0$ と $4 - 2a = 0$ が一致する。

$b = m(a)$ のグラフは連続である。

$0 \le a \le 2$ において、$b = -a^2 + 2a = -(a-1)^2 + 1$ は、$a = 1$ のとき最大値 $1$ をとる。

$a < 0$ において、$b = 2a$ は単調減少である。

$a > 2$ において、$b = 4 - 2a$ は単調減少である。

したがって、$m(a)$ の最大値は $1$ であり、そのときの $a$ の値は $1$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$$m(a) = \begin{cases} 2a & (a < 0) \\ -a^2 + 2a & (0 \le a \le 2) \\ 4 - 2a & (a > 2) \end{cases}$$

(2)

$m(a)$ の最大値は $1$ であり、そのときの $a$ の値は $1$ である。