この問題は、以下の3つの小問から構成されています。 * **HW 6.1:** 点 $(2\sqrt{2}, 1)$ における曲線 $\frac{x^2}{2^2} - y^2 = 1$ の接線の方程式を求めよ。 * **HW 6.2:** 曲線 $\mathbf{c}(t) = \begin{bmatrix} \frac{2}{\cos t} \\ \tan t \end{bmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$) の $t = \frac{\pi}{4}$ における接線のパラメータ表示を求めよ。 * **HW 6.3:** 次の点で与えられたxy平面上の点Pの極座標 $(r, \theta)$ を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めよ。 * (1) $(\sqrt{3}, 1)$ * (2) $(-1, -1)$ * (3) $(-1, 3)$

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つの小問から構成されています。

* **HW 6.1:** 点 $(2\sqrt{2}, 1)$ における曲線 $\frac{x^2}{2^2} - y^2 = 1$ の接線の方程式を求めよ。

* **HW 6.2:** 曲線 $\mathbf{c}(t) = \begin{bmatrix} \frac{2}{\cos t} \\ \tan t \end{bmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$) の $t = \frac{\pi}{4}$ における接線のパラメータ表示を求めよ。

* **HW 6.3:** 次の点で与えられたxy平面上の点Pの極座標 $(r, \theta)$ を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めよ。

* (1) $(\sqrt{3}, 1)$

* (2) $(-1, -1)$

* (3) $(-1, 3)$

2. 解き方の手順

* **HW 6.1:**

1. 曲線の方程式 $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ を陰関数表示とみなし、両辺を$x$で微分します。

$\frac{2x}{4} - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

2. $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y}$

3. 点 $(2\sqrt{2}, 1)$ における $\frac{dy}{dx}$ (接線の傾き)を計算します。

$\frac{dy}{dx} \Bigr|_{(2\sqrt{2}, 1)} = \frac{2\sqrt{2}}{4 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. 点 $(2\sqrt{2}, 1)$ を通り、傾き $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の直線の方程式(接線の方程式)を求めます。

$y - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} (x - 2\sqrt{2})$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} x - 2 + 1$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} x - 1$

* **HW 6.2:**

1. $\mathbf{c}(t)$ の微分 $\mathbf{c}'(t)$ を計算します。

$\mathbf{c}(t) = \begin{bmatrix} 2 \sec t \\ \tan t \end{bmatrix}$より

$\mathbf{c}'(t) = \begin{bmatrix} 2 \sec t \tan t \\ \sec^2 t \end{bmatrix}$

2. $t = \frac{\pi}{4}$ における $\mathbf{c}'(\frac{\pi}{4})$ を計算します。

$\mathbf{c}'(\frac{\pi}{4}) = \begin{bmatrix} 2 \sqrt{2} \cdot 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 2 \end{bmatrix}$

3. $t = \frac{\pi}{4}$ における $\mathbf{c}(\frac{\pi}{4})$ を計算します。

$\mathbf{c}(\frac{\pi}{4}) = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix}$

4. 接線のパラメータ表示を $\mathbf{l}(s) = \mathbf{c}(\frac{\pi}{4}) + s\mathbf{c}'(\frac{\pi}{4})$ で求めます。

$\mathbf{l}(s) = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}s \\ 1 + 2s \end{bmatrix}$

* **HW 6.3:**

1. 極座標は $(r, \theta)$ で表され、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ かつ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ を満たします。

* (1) $(\sqrt{3}, 1)$

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$

$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$

* (2) $(-1, -1)$

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$\tan \theta = \frac{-1}{-1} = 1$ より、$\theta = \frac{5\pi}{4}$ (第三象限)

* (3) $(-1, 3)$

$r = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$\tan \theta = \frac{3}{-1} = -3$ より、$\theta = \arctan(-3) + \pi$. arctan(-3) ≒ -1.25 なので、arctan(-3) + π ≒ 1.89。

3. 最終的な答え

* **HW 6.1:** $y = \frac{\sqrt{2}}{2} x - 1$

* **HW 6.2:** $\mathbf{l}(s) = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}s \\ 1 + 2s \end{bmatrix}$

* **HW 6.3:**

* (1) $(2, \frac{\pi}{6})$

* (2) $(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})$

* (3) $(\sqrt{10}, \arctan(-3) + \pi)$