与えられた3つの関数に対して、それぞれの第n次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める。 (1) $f(x) = \cos 3x$ (2) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2x-3}$ (3) $f(x) = \frac{1}{(3x+1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数に対して、それぞれの第n次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める。

(1) $f(x) = \cos 3x$

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2x-3}$

(3) $f(x) = \frac{1}{(3x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \cos 3x$ の場合

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つける。

$f'(x) = -3 \sin 3x = 3 \cos(3x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -9 \cos 3x = 3^2 \cos(3x + 2 \cdot \frac{\pi}{2})$

$f'''(x) = 27 \sin 3x = 3^3 \cos(3x + 3 \cdot \frac{\pi}{2})$

$f^{(4)}(x) = 81 \cos 3x = 3^4 \cos(3x + 4 \cdot \frac{\pi}{2})$

したがって、$f^{(n)}(x) = 3^n \cos(3x + n \frac{\pi}{2})$

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2x-3}$ の場合

分母を因数分解すると、$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$

部分分数分解を行う。

$\frac{2x+1}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}$

$2x+1 = A(x-1) + B(x+3)$

$x=1$ のとき、$3 = 4B$ より $B = \frac{3}{4}$

$x=-3$ のとき、$-5 = -4A$ より $A = \frac{5}{4}$

よって、$f(x) = \frac{5}{4(x+3)} + \frac{3}{4(x-1)}$

$\frac{d^n}{dx^n} \frac{1}{x+a} = \frac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$ を利用する。

$f^{(n)}(x) = \frac{5}{4} \frac{(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}} + \frac{3}{4} \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{4} \left( \frac{5}{(x+3)^{n+1}} + \frac{3}{(x-1)^{n+1}} \right)$

(3) $f(x) = \frac{1}{(3x+1)^2}$ の場合

$f(x) = (3x+1)^{-2}$

$f'(x) = -2(3x+1)^{-3} \cdot 3 = -2 \cdot 3 (3x+1)^{-3}$

$f''(x) = (-2)(-3)(3x+1)^{-4} \cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3^2 (3x+1)^{-4}$

$f'''(x) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3^3 (-1)(3x+1)^{-5} = - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3^3 (3x+1)^{-5}$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^n (n+1)! \cdot 3^n (3x+1)^{-(n+2)}$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n 3^n (n+1)!}{(3x+1)^{n+2}}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = 3^n \cos(3x + n \frac{\pi}{2})$

(2) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{4} \left( \frac{5}{(x+3)^{n+1}} + \frac{3}{(x-1)^{n+1}} \right)$

(3) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n 3^n (n+1)!}{(3x+1)^{n+2}}$