$n>3$のとき、数列$\frac{1^{n-1}+3^{n+1}}{1^n+3^n}$の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$n>3$のとき、数列$\frac{1^{n-1}+3^{n+1}}{1^n+3^n}$の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{1^{n-1}+3^{n+1}}{1^n+3^n} = \frac{1+3^{n+1}}{1+3^n}$

次に、分母と分子を$3^n$で割ります。

$\frac{1+3^{n+1}}{1+3^n} = \frac{\frac{1}{3^n}+\frac{3^{n+1}}{3^n}}{\frac{1}{3^n}+\frac{3^n}{3^n}} = \frac{\frac{1}{3^n}+3}{\frac{1}{3^n}+1}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{3^n} \to 0$なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{3^n}+3}{\frac{1}{3^n}+1} = \frac{0+3}{0+1} = \frac{3}{1} = 3$

3. 最終的な答え

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