関数 $y = 3\cos(\frac{\pi}{2}x - \frac{\pi}{3})$ について、$x \ge 0$ の範囲で、グラフが初めて最大値をとる $x$ の値、初めて $y=0$ となる $x$ の値、初めて最小値をとる $x$ の値、2回目の $y=0$ となる $x$ の値、2回目の最大値をとる $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\cos(\frac{\pi}{2}x - \frac{\pi}{3})$ について、$x \ge 0$ の範囲で、グラフが初めて最大値をとる $x$ の値、初めて $y=0$ となる $x$ の値、初めて最小値をとる $x$ の値、2回目の $y=0$ となる $x$ の値、2回目の最大値をとる $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の周期を求める。

$y = 3\cos(\frac{\pi}{2}x - \frac{\pi}{3}) = 3\cos(\frac{\pi}{2}(x - \frac{2}{3}))$

周期は $\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$ である。

基本的なコサイン関数 $y = \cos x$ のグラフを考えると、

- $x = 0$ で最大値 $1$ をとる。

- $x = \frac{\pi}{2}$ で $y = 0$ となる。

- $x = \pi$ で最小値 $-1$ をとる。

- $x = \frac{3\pi}{2}$ で $y = 0$ となる。

- $x = 2\pi$ で最大値 $1$ をとる。

したがって、$y = 3\cos(\frac{\pi}{2}(x - \frac{2}{3}))$ について、

- 最大値をとるのは $\frac{\pi}{2}(x - \frac{2}{3}) = 0$ のとき、つまり $x = \frac{2}{3}$。このとき $y = 3\cos(0) = 3$。

- $y = 0$ となるのは $\frac{\pi}{2}(x - \frac{2}{3}) = \frac{\pi}{2}$ のとき、つまり $x - \frac{2}{3} = 1$ から $x = \frac{5}{3}$。

- 最小値をとるのは $\frac{\pi}{2}(x - \frac{2}{3}) = \pi$ のとき、つまり $x - \frac{2}{3} = 2$ から $x = \frac{8}{3}$。このとき $y = 3\cos(\pi) = -3$。

- 2回目の $y = 0$ となるのは $\frac{\pi}{2}(x - \frac{2}{3}) = \frac{3\pi}{2}$ のとき、つまり $x - \frac{2}{3} = 3$ から $x = \frac{11}{3}$。

- 2回目の最大値をとるのは $\frac{\pi}{2}(x - \frac{2}{3}) = 2\pi$ のとき、つまり $x - \frac{2}{3} = 4$ から $x = \frac{14}{3}$。

したがって、

- 初めて最大値をとるのは $x = \frac{2}{3}\pi$ のとき、$y = 3$。

- 初めて $y = 0$ となるのは $x = \frac{5}{3}\pi$ のとき。

- 初めて最小値をとるのは $x = \frac{8}{3}\pi$ のとき、$y = -3$。

- 2回目の $y = 0$ となるのは $x = \frac{11}{3}\pi$ のとき。

- 2回目の最大値をとるのは $x = \frac{14}{3}\pi$ のとき。

問題文から、答えは $\frac{a}{b} \pi$ の形で入力する必要があるため、

- コ：2/3

- シ：3

- サ：5/3

- チ：-3

- ツ：11/3

- テ：14/3

3. 最終的な答え

コ：2/3

シ：3

サ：5/3

チ：-3

ツ：11/3

テ：14/3