$r > 3$ のとき、以下の極限を求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{r^{n-1} + 3^{n+1}}{r^n + 3^n} $$

1. 問題の内容

$r > 3$ のとき、以下の極限を求める問題です。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n-1} + 3^{n+1}}{r^n + 3^n}$$

2. 解き方の手順

まず、分母と分子を $r^n$ で割ります。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n-1} + 3^{n+1}}{r^n + 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{r^{n-1}}{r^n} + \frac{3^{n+1}}{r^n}}{\frac{r^n}{r^n} + \frac{3^n}{r^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r} + 9 \cdot \frac{3^{n-1}}{r^n}}{1 + (\frac{3}{r})^n}$$

ここで、$r > 3$ なので、$\frac{3}{r} < 1$ となります。したがって、$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{r})^n = 0$ です。

また、$r > 3$ なので、$\frac{3}{r} < 1$ を考慮すると、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1}}{r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{r})^n = 0$$

よって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r} + 9 \cdot \frac{3^{n-1}}{r^n}}{1 + (\frac{3}{r})^n} = \frac{\frac{1}{r} + 9 \cdot 0}{1 + 0} = \frac{1}{r}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{r}$