$x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+3y \leq 6n$ を満たす格子点の個数を求める問題です。ここで、$n$は整数であり、格子点とは、$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことです。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+3y \leq 6n$ を満たす格子点の個数を求める問題です。ここで、$n$は整数であり、格子点とは、$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことです。

2. 解き方の手順

まず、$x$の値を固定して、$y$の範囲を考えます。

$x=k$（$k$は0以上の整数）とすると、$2k + 3y \leq 6n$より、

$3y \leq 6n - 2k$

$y \leq 2n - \frac{2}{3}k$

$y$は0以上の整数なので、$0 \leq y \leq 2n - \frac{2}{3}k$を満たす整数の個数を考えます。

$y$の個数は$\lfloor 2n - \frac{2}{3}k \rfloor + 1$となります。ここで$\lfloor x \rfloor$は$x$以下の最大の整数を表します。

$x$の範囲は$x \geq 0$と$2x+3y \leq 6n$, $y \geq 0$より、$2x \leq 6n$, $x \leq 3n$となります。したがって、$0 \leq x \leq 3n$です。

したがって、求める格子点の個数は

$\sum_{k=0}^{3n} (\lfloor 2n - \frac{2}{3}k \rfloor + 1)$

$=\sum_{k=0}^{3n} \lfloor 2n - \frac{2}{3}k \rfloor + \sum_{k=0}^{3n} 1$

$=\sum_{k=0}^{3n} \lfloor 2n - \frac{2}{3}k \rfloor + (3n+1)$

ここで、$S = \sum_{k=0}^{3n} \lfloor 2n - \frac{2}{3}k \rfloor$を計算します。

$k = 3j$のとき、$j=0, 1, \dots, n$に対して、$2n - \frac{2}{3}(3j) = 2n - 2j$は整数なので、$\lfloor 2n - \frac{2}{3}(3j) \rfloor = 2n - 2j$

$k = 3j+1$のとき、$j=0, 1, \dots, n-1$に対して、$2n - \frac{2}{3}(3j+1) = 2n - 2j - \frac{2}{3}$なので、$\lfloor 2n - \frac{2}{3}(3j+1) \rfloor = 2n - 2j - 1$

$k = 3j+2$のとき、$j=0, 1, \dots, n-1$に対して、$2n - \frac{2}{3}(3j+2) = 2n - 2j - \frac{4}{3}$なので、$\lfloor 2n - \frac{2}{3}(3j+2) \rfloor = 2n - 2j - 2$

したがって、

$S = \sum_{j=0}^n (2n-2j) + \sum_{j=0}^{n-1} (2n-2j-1) + \sum_{j=0}^{n-1} (2n-2j-2)$

$= \sum_{j=0}^n (2n-2j) + \sum_{j=0}^{n-1} (2n-2j) - \sum_{j=0}^{n-1} 1 - \sum_{j=0}^{n-1} 2$

$= (2n(n+1) - 2 \frac{n(n+1)}{2}) + (2n(n) - 2 \frac{(n-1)n}{2}) - n - 2n$

$= 2n^2 + 2n - n^2 - n + 2n^2 - n^2 + n - 3n$

$= 2n^2 - n$

求める個数は $S + (3n+1) = 2n^2 - n + 3n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$

3. 最終的な答え

$2n^2 + 2n + 1$