$\sqrt{60a}$ が自然数となるような $a$ の中で、最も小さい整数 $a$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{60a}$ が自然数となるような $a$ の中で、最も小さい整数 $a$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{60a}$ が自然数となるためには、根号の中身である $60a$ がある整数の2乗になる必要があります。つまり、$60a = n^2$ （$n$は整数）となるように $a$ を選ぶ必要があります。$60$を素因数分解すると、$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ となります。

$60a = 2^2 \times 3 \times 5 \times a = n^2$ となるためには、$a$ は少なくとも $3$ と $5$ を因数に持つ必要があります。したがって、$a$ は $3 \times 5 = 15$ の倍数である必要があります。

$a$ の最小値を求める問題なので、$a = 3 \times 5 = 15$ とすれば、$60a = 2^2 \times 3 \times 5 \times (3 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = (2 \times 3 \times 5)^2 = 30^2$ となり、$\sqrt{60a} = \sqrt{30^2} = 30$ となり、自然数となります。

したがって、求める $a$ の最小値は15です。

3. 最終的な答え

15