全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$n(U) = 90$, $n(A) = 45$, $n(A \cap B) = 20$であるとき、以下の集合の要素の個数を求める問題です。 (1) $n(A \cup B)$ (2) $n(\overline{A})$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$n(U) = 90$, $n(A) = 45$, $n(A \cap B) = 20$であるとき、以下の集合の要素の個数を求める問題です。

(1) $n(A \cup B)$

(2) $n(\overline{A})$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cup B)$を求める。

集合の要素の個数に関する公式

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

を用いる。$n(A)$と$n(A \cap B)$の値は分かっているので、$n(B)$を求める必要がある。しかし、$n(B)$は与えられていないため、このままでは$n(A \cup B)$を求めることができない。そのため、一旦保留して、他の問題を考える。

(2) $n(\overline{A})$を求める。

$n(\overline{A})$は、$A$の補集合の要素の個数であり、全体集合$U$の要素の個数から$A$の要素の個数を引いたものに等しい。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$

$n(\overline{A}) = 90 - 45 = 45$

(3) $n(\overline{B})$を求める。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

$n(B)$の値が分からないため、このままでは計算できない。

(4) $n(\overline{A \cup B})$を求める。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$を求める必要がある。

ここで、再度(1)の問題に戻り、問題を解くために必要な情報を整理する。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 20$、$n(A) = 45$、$n(U) = 90$である。

集合$A$と$B$について、

$n(A \cup B) \leq n(U)$

である必要がある。

$n(A \cup B) = n(U) - n(\overline{A \cup B})$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(U) = 90$なので、$n(A \cup B)$が分かれば$n(\overline{A \cup B})$が計算できる。

ここで、$n(B)$を求めることを考える。

条件が不足しており、$n(B)$を求めることはできない。

しかし、問題文に矛盾がないことを確認するために、

$n(A \cup B) \le n(U)$

であることを利用する。

仮に$n(B) = x$とすると、

$n(A \cup B) = 45 + x - 20 = 25 + x$

$25 + x \le 90$

$x \le 65$

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 90 - x$

$n(\overline{A \cup B}) = 90 - (45 + x - 20) = 90 - (25 + x) = 65 - x$

問題文の条件だけでは、$n(B)$を一意に決定できない。

しかし、$n(A \cup B)$は$n(U)$を超えないという条件から、$n(B)$の範囲を求めることができる。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 45 + n(B) - 20 = 25 + n(B)$

$n(A \cup B) \leq n(U)$より

$25 + n(B) \leq 90$

$n(B) \leq 65$

問題文より、$n(B)$を決定できないため、解答は$n(B)$に依存する形となる。

問題の意図と異なる可能性があるため、解答にはその旨を明記する。

(1) $n(A \cup B) = 25 + n(B)$

(2) $n(\overline{A}) = 45$

(3) $n(\overline{B}) = 90 - n(B)$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 65 - n(B)$

3. 最終的な答え

問題文の条件のみでは、$n(B)$の値を特定できないため、$n(B)$を仮定して答えを記載します。

(1) $n(A \cup B) = 25 + n(B)$

(2) $n(\overline{A}) = 45$

(3) $n(\overline{B}) = 90 - n(B)$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 65 - n(B)$

ただし、$n(B)$は$0 \le n(B) \le 65$の範囲の整数です。