$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義された2つの関数 $f(\theta)=(1-\sqrt{3}a)\sin^2\theta+2a\sin\theta\cos\theta+(1+\sqrt{3}a)\cos^2\theta$ と $g(\theta) = b\sin c\theta + b$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(\theta)$ を $a, \sin 2\theta, \cos 2\theta$ を用いて表し、$f(\theta)$ の最大値と最小値を求める。 (2) $g(\theta)$ の最小値が0であるとき、$c$ の値の範囲を求め、さらに $f(\theta)$ と $g(\theta)$ の最大値と最小値がそれぞれ一致するならば、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義された2つの関数 $f(\theta)=(1-\sqrt{3}a)\sin^2\theta+2a\sin\theta\cos\theta+(1+\sqrt{3}a)\cos^2\theta$ と $g(\theta) = b\sin c\theta + b$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(\theta)$ を $a, \sin 2\theta, \cos 2\theta$ を用いて表し、$f(\theta)$ の最大値と最小値を求める。

(2) $g(\theta)$ の最小値が0であるとき、$c$ の値の範囲を求め、さらに $f(\theta)$ と $g(\theta)$ の最大値と最小値がそれぞれ一致するならば、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(\theta)$ を $a, \sin 2\theta, \cos 2\theta$ で表す。

$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$, $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$ を用いると、

$f(\theta) = (1-\sqrt{3}a)\frac{1-\cos 2\theta}{2} + 2a\frac{\sin 2\theta}{2} + (1+\sqrt{3}a)\frac{1+\cos 2\theta}{2}$

$f(\theta) = \frac{1-\sqrt{3}a}{2} - \frac{1-\sqrt{3}a}{2}\cos 2\theta + a\sin 2\theta + \frac{1+\sqrt{3}a}{2} + \frac{1+\sqrt{3}a}{2}\cos 2\theta$

$f(\theta) = 1 + a\sin 2\theta + \sqrt{3}a\cos 2\theta$

$f(\theta) = 1 + 2a(\frac{1}{2}\sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\theta)$

$f(\theta) = 1 + 2a\sin(2\theta + \frac{\pi}{3})$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{3} \le 2\theta+\frac{\pi}{3} \le \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ である。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{3})$ は $2\theta+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ つまり $\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき最大値1をとる。

$f(\theta)$ の最大値は $1+2a$

また、$2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ つまり $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最小値をとる。$\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$f(\theta)$ の最小値は $1 - \sqrt{3}a$

(2) $g(\theta) = b\sin c\theta + b$ の最小値が 0 であるとき、$b>0$ であるから $\sin c\theta = -1$ となる $\theta$ が存在しなければならない。

$-\pi/2\leq c\theta \leq \pi/2$ なので$c>0$から$c\theta = 3\pi/2$とできるので、$g(\theta)$ の最小値が 0 になるのは $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$-\frac{\pi}{2} \le c\theta \le \frac{\pi}{2}$の場合なので、 $c \ge 2$

$g(\theta)$ の最大値は $2b$、最小値は 0 。

$f(\theta)$ の最大値は $1+2a$、最小値は $1-\sqrt{3}a$。

$1+2a = 2b$ かつ $1-\sqrt{3}a = 0$ より、$a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b = \frac{1+2a}{2} = \frac{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{3+2\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = 2a\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) + 1$

$\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき最大値 $2a+1$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最小値 $1 - \sqrt{3}a$

(2) $c \ge 2$

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $b = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$