はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

複数の問題がありますが、ここでは以下の問題を解きます。

* 3.(1) $x^3 + 125$ を因数分解せよ。

* 3.(2) $27a^3 - 8b^3$ を因数分解せよ。

* 3.(3) $a^6 - 28a^3b^3 + 27b^6$ を因数分解せよ。

* 3.(4) $x^3 + 4x^2 - 8x - 8$ を因数分解せよ。

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2. 解き方の手順**

3.(1) $x^3 + 125$ の因数分解

$x^3 + 125$ は、$x^3 + 5^3$ と見なせるので、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用います。

$x^3 + 5^3 = (x+5)(x^2 - 5x + 25)$

3.(2) $27a^3 - 8b^3$ の因数分解

$27a^3 - 8b^3$ は、$(3a)^3 - (2b)^3$ と見なせるので、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用います。

$(3a)^3 - (2b)^3 = (3a - 2b)((3a)^2 + (3a)(2b) + (2b)^2)$

$= (3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$

3.(3) $a^6 - 28a^3b^3 + 27b^6$ の因数分解

$a^6 - 28a^3b^3 + 27b^6$ は、$X = a^3$ および $Y = b^3$ と置くと、$X^2 - 28XY + 27Y^2$ となります。

これは、$X^2 - 28XY + 27Y^2 = (X - Y)(X - 27Y)$ と因数分解できます。

したがって、$a^6 - 28a^3b^3 + 27b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 - 27b^3)$となります。

さらに、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ および $a^3 - 27b^3 = a^3 - (3b)^3 = (a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$ であるから、$a^6 - 28a^3b^3 + 27b^6 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$

3.(4) $x^3 + 4x^2 - 8x - 8$ の因数分解

$x^3 + 4x^2 - 8x - 8$ は、因数定理を用いて因数分解を試みます。

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 8x - 8$ とします。

$f(2) = 2^3 + 4(2^2) - 8(2) - 8 = 8 + 16 - 16 - 8 = 0$なので、$x-2$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

2 | 1 4 -8 -8

| 2 12 8

|----------------

1 6 4 0

```

したがって、$x^3 + 4x^2 - 8x - 8 = (x-2)(x^2 + 6x + 4)$ となります。

$x^2 + 6x + 4 = 0$を解くと、$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-16}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}$であるため、$x^2 + 6x + 4$はこれ以上因数分解できません。

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3. 最終的な答え**

* 3.(1) $x^3 + 125 = (x+5)(x^2 - 5x + 25)$

* 3.(2) $27a^3 - 8b^3 = (3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$

* 3.(3) $a^6 - 28a^3b^3 + 27b^6 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$

* 3.(4) $x^3 + 4x^2 - 8x - 8 = (x-2)(x^2 + 6x + 4)$