与えられた5つの式を展開する問題です。 (1) $(a+2)^3$ (2) $(3a-b)^3$ (3) $(x-4)(x^2+4x+16)$ (4) $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ (5) $(x+1)^4$

1. 問題の内容

与えられた5つの式を展開する問題です。

(1) $(a+2)^3$

(2) $(3a-b)^3$

(3) $(x-4)(x^2+4x+16)$

(4) $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

(5) $(x+1)^4$

2. 解き方の手順

(1) $(a+2)^3$ の展開

二項定理または $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を利用します。

$a=a$, $b=2$ を代入すると、

$(a+2)^3 = a^3 + 3a^2(2) + 3a(2)^2 + (2)^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

(2) $(3a-b)^3$ の展開

二項定理または $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を利用します。

$a=3a$, $b=b$ を代入すると、

$(3a-b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2(b) + 3(3a)(b)^2 - (b)^3 = 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

(3) $(x-4)(x^2+4x+16)$ の展開

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用できます。

$a=x$, $b=4$ を代入すると、

$(x-4)(x^2+4x+16) = x^3 - 4^3 = x^3 - 64$

(4) $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ の展開

まず、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用します。

$(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) = (a^2-b^2)((a^2+b^2)^2 - (ab)^2) = (a^2 - b^2)(a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2) = (a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) = a^6 - b^6$

(5) $(x+1)^4$ の展開

二項定理または $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ を利用します。

$a=x$, $b=1$ を代入すると、

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3(1) + 6x^2(1)^2 + 4x(1)^3 + (1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

(2) $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

(3) $x^3 - 64$

(4) $a^6 - b^6$

(5) $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$