与えられた4つの式を簡単にします。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ (3) $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を簡単にします。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

(3) $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

(4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

根号の中を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。

$a+b=4$ かつ $ab=3$ となる $a, b$ を探すと、$a=3, b=1$ が見つかります。

よって、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+1+2\sqrt{3\cdot1}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{1})^2} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

根号の中を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。

$9+\sqrt{56}=9+2\sqrt{14}$と変形できます。

$a+b=9$ かつ $ab=14$ となる $a, b$ を探すと、$a=7, b=2$ が見つかります。

よって、

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{7+2+2\sqrt{7\cdot2}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}+\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

$\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{6-2\sqrt{8}}$と変形できます。

根号の中を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。

$a+b=6$ かつ $ab=8$ となる $a, b$ を探すと、$a=4, b=2$ が見つかります。

よって、

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{6-2\sqrt{8}} = \sqrt{4+2-2\sqrt{4\cdot2}} = \sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = 2-\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

根号の中を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ の形にすることを考えます。

$a+b=8$ かつ $ab=15$ となる $a, b$ を探すと、$a=5, b=3$ が見つかります。

よって、

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5+3-2\sqrt{5\cdot3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

(3) $2-\sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$