次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2} (x^2 + 3x) dx - \int_{0}^{2} (x^2 - x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (x^2 + 3x) dx - \int_{0}^{2} (x^2 - x) dx$

2. 解き方の手順

まず、2つの積分を1つにまとめます。積分範囲が同じなので、被積分関数を引くことができます。

$\int_{0}^{2} (x^2 + 3x) dx - \int_{0}^{2} (x^2 - x) dx = \int_{0}^{2} [(x^2 + 3x) - (x^2 - x)] dx$

被積分関数を簡略化します。

$\int_{0}^{2} (x^2 + 3x - x^2 + x) dx = \int_{0}^{2} (4x) dx$

次に、積分を実行します。

$\int_{0}^{2} (4x) dx = [2x^2]_{0}^{2}$

積分範囲を代入します。

$[2x^2]_{0}^{2} = 2(2^2) - 2(0^2) = 2(4) - 0 = 8$

3. 最終的な答え

8