放物線 $y=x^2$ と直線 $y=-x+2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=-x+2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 = -x + 2$ を解きます。

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = -2$ と $x = 1$ です。

次に、面積 $S$ を求めるために、定積分を計算します。

$S = \int_{-2}^{1} ((-x+2) - x^2) dx$

積分を計算します。

$S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$

$S = \left( -\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 + 2(1) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - \frac{18}{3} \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right)$

$S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6}$

$S = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$