$2\cos 2\theta + 11\sin \theta + 1 = 0$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2\cos 2\theta + 11\sin \theta + 1 = 0$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表すために、2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いる。

与えられた式に代入すると、

$$2(1 - 2\sin^2 \theta) + 11\sin \theta + 1 = 0$$

$$2 - 4\sin^2 \theta + 11\sin \theta + 1 = 0$$

$$-4\sin^2 \theta + 11\sin \theta + 3 = 0$$

$$4\sin^2 \theta - 11\sin \theta - 3 = 0$$

ここで、$x = \sin \theta$ とおくと、

$$4x^2 - 11x - 3 = 0$$

この2次方程式を解く。因数分解すると、

$$(4x + 1)(x - 3) = 0$$

したがって、$x = -\frac{1}{4}$ または $x = 3$。

$x = \sin \theta$ なので、$-1 \le x \le 1$ である。

したがって、$x = 3$ は不適。

よって、$\sin \theta = -\frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{1}{4}$