以下の問題を解きます。 (1) 複素数 $3+5i$ の実部と虚部を答えよ。 (2) 複素数 $3+5i$ の共役な複素数を答えよ。 (3) 次の等式を満たす実数 $x$, $y$ の値を求めよ。 (a) $x-3i = 1+yi$ (b) $(x+2y) + (x-2)i = 0$ (4) 次の式を計算せよ。 (a) $(1+4i)+(2-5i)$ (b) $(7+5i)-(3+2i)$ (c) $(7+2i)(5-4i)$ (d) $\frac{1-2i}{2-i}$ (e) $\sqrt{-27}\sqrt{-12}$ (f) $\frac{\sqrt{-75}}{\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

以下の問題を解きます。

(1) 複素数 $3+5i$ の実部と虚部を答えよ。

(2) 複素数 $3+5i$ の共役な複素数を答えよ。

(3) 次の等式を満たす実数 $x$, $y$ の値を求めよ。

(a) $x-3i = 1+yi$

(b) $(x+2y) + (x-2)i = 0$

(4) 次の式を計算せよ。

(a) $(1+4i)+(2-5i)$

(b) $(7+5i)-(3+2i)$

(c) $(7+2i)(5-4i)$

(d) $\frac{1-2i}{2-i}$

(e) $\sqrt{-27}\sqrt{-12}$

(f) $\frac{\sqrt{-75}}{\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

(1)

実部：複素数の実数部分。

虚部：複素数の虚数単位 $i$ の係数。

$3+5i$ の実部は $3$ であり、虚部は $5$ である。

(2)

共役な複素数は、虚部の符号を反転させたもの。

$3+5i$ の共役な複素数は $3-5i$ である。

(3)

(a) $x-3i = 1+yi$ より、$x=1$ かつ $y=-3$。

(b) $(x+2y)+(x-2)i = 0$ より、$x+2y=0$ かつ $x-2=0$。

$x=2$ を $x+2y=0$ に代入すると、$2+2y=0$ となり、$y=-1$。

(4)

(a) $(1+4i)+(2-5i) = (1+2)+(4-5)i = 3-i$

(b) $(7+5i)-(3+2i) = (7-3)+(5-2)i = 4+3i$

(c) $(7+2i)(5-4i) = 7(5) + 7(-4i) + 2i(5) + 2i(-4i) = 35 -28i + 10i -8i^2 = 35 -18i + 8 = 43-18i$

(d) $\frac{1-2i}{2-i} = \frac{(1-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{2+i-4i-2i^2}{4-i^2} = \frac{2-3i+2}{4+1} = \frac{4-3i}{5} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$

(e) $\sqrt{-27}\sqrt{-12} = \sqrt{27}i \cdot \sqrt{12}i = \sqrt{27 \cdot 12} \cdot i^2 = \sqrt{324}(-1) = 18(-1) = -18$

(f) $\frac{\sqrt{-75}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{75}i}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{75}{15}}i = \sqrt{5}i$

3. 最終的な答え

(1) 実部: $3$, 虚部: $5$

(2) $3-5i$

(3) (a) $x=1$, $y=-3$

(b) $x=2$, $y=-1$

(4) (a) $3-i$

(b) $4+3i$

(c) $43-18i$

(d) $\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$

(e) $-18$

(f) $\sqrt{5}i$