1枚の硬貨を10回投げたとき、表の出る回数を$X$とする。以下の確率を求めよ。 (1) $P(X=3)$ (2) $P(X \le 2)$ (3) $P(6 \le X \le 8)$

1. 問題の内容

1枚の硬貨を10回投げたとき、表の出る回数を$X$とする。以下の確率を求めよ。

(1) $P(X=3)$

(2) $P(X \le 2)$

(3) $P(6 \le X \le 8)$

2. 解き方の手順

この問題は二項分布に従う確率の問題です。

硬貨を10回投げる試行において、表が出る確率を$p = \frac{1}{2}$、裏が出る確率を$q = 1-p = \frac{1}{2}$とします。

$X$は二項分布$B(10, \frac{1}{2})$に従います。

(1) $P(X=3)$を求める。

二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

で表されます。ここで、$n=10$, $k=3$, $p=\frac{1}{2}$なので、

$P(X=3) = {}_{10} C_3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{10-3} = {}_{10} C_3 (\frac{1}{2})^{10}$

${}_{10} C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

$P(X=3) = 120 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128}$

(2) $P(X \le 2)$を求める。

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

$P(X=0) = {}_{10} C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^{10} = 1 \times 1 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$

$P(X=1) = {}_{10} C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{9} = 10 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10}{1024}$

$P(X=2) = {}_{10} C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times (\frac{1}{2})^{10} = 45 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{45}{1024}$

$P(X \le 2) = \frac{1}{1024} + \frac{10}{1024} + \frac{45}{1024} = \frac{1+10+45}{1024} = \frac{56}{1024} = \frac{7}{128}$

(3) $P(6 \le X \le 8)$を求める。

$P(6 \le X \le 8) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$

$P(X=6) = {}_{10} C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^{4} = {}_{10} C_4 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times (\frac{1}{2})^{10} = 210 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{210}{1024}$

$P(X=7) = {}_{10} C_7 (\frac{1}{2})^7 (\frac{1}{2})^{3} = {}_{10} C_3 (\frac{1}{2})^{10} = 120 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{120}{1024}$

$P(X=8) = {}_{10} C_8 (\frac{1}{2})^8 (\frac{1}{2})^{2} = {}_{10} C_2 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times (\frac{1}{2})^{10} = 45 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{45}{1024}$

$P(6 \le X \le 8) = \frac{210}{1024} + \frac{120}{1024} + \frac{45}{1024} = \frac{210+120+45}{1024} = \frac{375}{1024}$

3. 最終的な答え

(1) $P(X=3) = \frac{15}{128}$

(2) $P(X \le 2) = \frac{7}{128}$

(3) $P(6 \le X \le 8) = \frac{375}{1024}$