5. 次の2次方程式を解け。 (1) $x^2 + 5x + 7 = 0$ (2) $4x^2 + 2x + 3 = 0$ 6. 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 (1) $6x^2 - 5x + 3 = 0$ (2) $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$ 7. 次の1次式のうち多項式 $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ の因数であるものをすべて答えよ。 (1) $x - 1$ (2) $x + 2$ (3) $x + 3$ (4) $2x + 1$

1. 問題の内容

5. 次の2次方程式を解け。

(1) $x^2 + 5x + 7 = 0$

(2) $4x^2 + 2x + 3 = 0$

6. 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。

(1) $6x^2 - 5x + 3 = 0$

(2) $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$

7. 次の1次式のうち多項式 $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ の因数であるものをすべて答えよ。

(1) $x - 1$

(2) $x + 2$

(3) $x + 3$

(4) $2x + 1$

2. 解き方の手順

5. 2次方程式の解を求める。

(1) $x^2 + 5x + 7 = 0$ に対して、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。$a = 1, b = 5, c = 7$ より、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

(2) $4x^2 + 2x + 3 = 0$ に対して、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。$a = 4, b = 2, c = 3$ より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 48}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{-44}}{8} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{11}}{8} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{4}$.

6. 2次方程式の解の種類を判別する。判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いる。

(1) $6x^2 - 5x + 3 = 0$ に対して、$a = 6, b = -5, c = 3$ より、$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 25 - 72 = -47 < 0$。よって、異なる2つの虚数解を持つ。

(2) $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$ に対して、$a = 3, b = -2\sqrt{6}, c = 2$ より、$D = (-2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 - 24 = 0$。よって、重解を持つ。

7. $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ の因数を見つける。因数定理を用いる。

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ とする。

$f(1) = 2 + 3 - 11 - 6 = -12 \neq 0$.

$f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 11(-2) - 6 = -16 + 12 + 22 - 6 = 12 \neq 0$.

$f(-3) = 2(-27) + 3(9) - 11(-3) - 6 = -54 + 27 + 33 - 6 = 0$. よって、$x + 3$ は因数である。

$f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - 11(-\frac{1}{2}) - 6 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{11}{2} - 6 = \frac{2}{4} + \frac{22}{4} - \frac{24}{4} = 0$. よって、$2x + 1$ は因数である。

3. 最終的な答え

5. (1) $x = \frac{-5 \pm i\sqrt{3}}{2}$ (2) $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{4}$

6. (1) 異なる2つの虚数解 (2) 重解

7. (3) $x + 3$, (4) $2x + 1$