5. 次の2次方程式を解け。 (1) $x^2 + 5x + 7 = 0$ (2) $4x^2 + 2x + 3 = 0$ 6. 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 (1) $6x^2 - 5x + 3 = 0$ (2) $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$ 7. 次の1次式のうち多項式 $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ の因数であるものをすべて答えよ。 (1) $x-1$ (2) $x+2$ (3) $x+3$ (4) $2x+1$

## 数学の問題

1. **問題の内容**

5. 次の2次方程式を解け。

(1) $x^2 + 5x + 7 = 0$

(2) $4x^2 + 2x + 3 = 0$

6. 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。

(1) $6x^2 - 5x + 3 = 0$

(2) $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$

7. 次の1次式のうち多項式 $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ の因数であるものをすべて答えよ。

(1) $x-1$

(2) $x+2$

(3) $x+3$

(4) $2x+1$

2. **解き方の手順**

5. (1) $x^2 + 5x + 7 = 0$ を解く。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1, b=5, c=7$ なので、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(7)}}{2(1)}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{-3}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $4x^2 + 2x + 3 = 0$ を解く。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=4, b=2, c=3$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(3)}}{2(4)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 48}}{8}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-44}}{8}$

$x = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{11}}{8}$

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{4}$

6. (1) $6x^2 - 5x + 3 = 0$ の解の種類を判別する。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算する。

$D = (-5)^2 - 4(6)(3) = 25 - 72 = -47$

$D < 0$ なので、異なる2つの虚数解を持つ。

(2) $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$ の解の種類を判別する。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算する。

$D = (-2\sqrt{6})^2 - 4(3)(2) = 4(6) - 24 = 24 - 24 = 0$

$D = 0$ なので、重解を持つ。

7. $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ の因数であるものを探す。

因数定理を利用する。

(1) $x-1$: $P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 11(1) - 6 = 2 + 3 - 11 - 6 = -12 \neq 0$

(2) $x+2$: $P(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 11(-2) - 6 = 2(-8) + 3(4) + 22 - 6 = -16 + 12 + 22 - 6 = 12 \neq 0$

(3) $x+3$: $P(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 11(-3) - 6 = 2(-27) + 3(9) + 33 - 6 = -54 + 27 + 33 - 6 = 0$

(4) $2x+1$: $P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 - 11(-\frac{1}{2}) - 6 = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) + \frac{11}{2} - 6 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{22}{4} - \frac{24}{4} = 0$

3. **最終的な答え**

5. (1) $x = \frac{-5 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{4}$

6. (1) 異なる2つの虚数解

(2) 重解

7. (3) $x+3$ と (4) $2x+1$