多項式 $P(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18$ について、以下の問いに答えます。 (1) $P(x)$ を 1次式 $x+1$ と $x-2$ で割った余りをそれぞれ求めます。 (2) $P(x)$ を因数分解します。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18$ について、以下の問いに答えます。

(1) $P(x)$ を 1次式 $x+1$ と $x-2$ で割った余りをそれぞれ求めます。

(2) $P(x)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1) 余りの定理を利用します。

$P(x)$ を $x-a$ で割った余りは $P(a)$ で与えられます。

① $P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $P(-1)$ です。

$P(-1) = (-1)^3 + 4(-1)^2 - 3(-1) - 18 = -1 + 4 + 3 - 18 = -12$

② $P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $P(2)$ です。

$P(2) = (2)^3 + 4(2)^2 - 3(2) - 18 = 8 + 16 - 6 - 18 = 0$

(2) $P(2) = 0$ であることから、$P(x)$ は $(x-2)$ を因数に持ちます。

$P(x)$ を $(x-2)$ で割ると、

\begin{array}{c|cccc}

& 1 & 4 & -3 & -18 \\

2 & & 2 & 12 & 18 \\

\hline

& 1 & 6 & 9 & 0

\end{array}

よって、$P(x) = (x-2)(x^2 + 6x + 9)$

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ であるから、

$P(x) = (x-2)(x+3)^2$

3. 最終的な答え

(1) ① -12, ② 0

(2) $P(x) = (x-2)(x+3)^2$