展開図が図のようになる円錐の高さを求める問題です。展開図は、中心角が $180^\circ$ の扇形と半径が $1$ の円で構成されています。

1. 問題の内容

展開図が図のようになる円錐の高さを求める問題です。展開図は、中心角が $180^\circ$ の扇形と半径が $1$ の円で構成されています。

2. 解き方の手順

まず、円錐の底面の円周は、半径 $1$ の円の円周と等しいので、 $2\pi(1) = 2\pi$ です。

次に、扇形の弧の長さは、円錐の底面の円周と等しいので、 $2\pi$ です。

扇形の半径（つまり円錐の母線）を $r$ とすると、扇形の弧の長さは $r \times (180^\circ / 360^\circ) \times 2\pi = r\pi$ です。

したがって、$r\pi = 2\pi$ より、$r=2$ となります。

円錐の高さ $h$、底面の半径 $1$、母線 $r=2$ は、ピタゴラスの定理により、$h^2 + 1^2 = 2^2$ を満たします。

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$