$a>0$, $b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点Pを取ります。点Pにおける接線と漸近線との2交点を、y座標の大きい方から順にA, Bとするとき、P(p, q)としてA, Bの座標を $a$, $b$, $p$, $q$ で表しなさい。

1. 問題の内容

$a>0$, $b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点Pを取ります。点Pにおける接線と漸近線との2交点を、y座標の大きい方から順にA, Bとするとき、P(p, q)としてA, Bの座標を $a$, $b$, $p$, $q$ で表しなさい。

2. 解き方の手順

点P(p, q)における接線の方程式は

$\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$ ...(1)

漸近線の方程式は

$y = \pm \frac{b}{a}x$ ...(2)

(1)と(2)から $y$ を消去すると

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2}(\pm \frac{b}{a}x) = 1$

$(\frac{p}{a^2} \mp \frac{q}{ab})x = 1$

$\frac{pb \mp qa}{a^2b}x = 1$

$x = \frac{a^2b}{pb \mp qa}$

したがって、

$x = \frac{a^2b}{bp \pm aq}$ （複合同順）

このとき、

$y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{b}{a} \cdot \frac{a^2b}{bp \pm aq} = \pm \frac{ab^2}{bp \pm aq}$

$-\frac{b}{a} < \frac{q}{p} < \frac{b}{a}$ と $p > 0$ より、$bp \pm aq > 0$

点A, Bの座標は、$y$座標の大きい方から順に決めるので、

点Aの座標は$(\frac{a^2b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq})$

点Bの座標は$(\frac{a^2b}{bp + aq}, -\frac{ab^2}{bp + aq})$

3. 最終的な答え

点Aの座標: $(\frac{a^2b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq})$

点Bの座標: $(\frac{a^2b}{bp + aq}, -\frac{ab^2}{bp + aq})$