問題文は、不等式 $x - 2a \geq -3$ (①) と $|x + a - 2| < 6$ (②) が与えられ、これらの連立不等式の解とそれぞれの不等式の解について考察し、いくつかの空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

問題文は、不等式 $x - 2a \geq -3$ (①) と $|x + a - 2| < 6$ (②) が与えられ、これらの連立不等式の解とそれぞれの不等式の解について考察し、いくつかの空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式②の解を求める。

$|x + a - 2| < 6$ は $-6 < x + a - 2 < 6$ と同値です。

各辺から $a - 2$ を引くと $-6 - (a - 2) < x < 6 - (a - 2)$ となり、整理すると $-a - 4 < x < -a + 8$ となります。

したがって、シ には4、ソ には8が入ります。

(2) 不等式①の解と不等式②の解が一致するとき、不等式①の解 $x \geq 2a - 3$ と不等式②の解 $-a - 4 < x < -a + 8$ が一致するということは、$2a - 3 = -a - 4$ かつ $-a + 8 > 2a - 3$ でなければなりません。

$2a - 3 = -a - 4$ を解くと、$3a = -1$ より $a = -\frac{1}{3}$ となります。

$-a+8 > 2a-3$ を解くと、$11>3a$ より $a < \frac{11}{3}$ となり、問題ありません。

よって、サ には$-\frac{1}{3}$が入ります。

(3) 連立不等式①、②の解が一致するとき、AとBの関係を考える。

不等式①の解はA、不等式②の解はBであり、連立不等式①、②の解は$A \cap B$で表される。

連立不等式の解が一致するので、$A \cap B = A$となります。したがって、タ には1が入ります。

このとき、AはBの部分集合なので、$A \subset B$ となります。したがって、チ には4が入ります。

(4) 求める $a$ の値の範囲を求める。

$x \geq 2a - 3$ かつ $-a - 4 < x < -a + 8$なので、$x \geq 2a - 3$が$-a - 4 < x < -a + 8$の部分集合になる必要があります。

したがって、$x \geq 2a - 3$となるxは、$-a - 4 < x < -a + 8$の範囲内にある必要があります。

$-a - 4 < x < -a + 8$において、$x \geq 2a - 3$となるためには、$2a-3 = -a-4$のときを考えればよく、$a = -\frac{1}{3}$です。

また、$x$は$-a-4$より大きいので、$2a-3 > -a-4$のとき、$a > -\frac{1}{3}$となります。

$2a-3$が$-a+8$より小さければ、$x \geq 2a - 3$となるxは、必ず$-a - 4 < x < -a + 8$の範囲内にあるので、$2a - 3 < -a + 8$が成り立ちます。これを解くと$3a < 11$、$a < \frac{11}{3}$となります。

よって、$a$の範囲は $-\frac{1}{3} < a < \frac{11}{3}$となるので、ツ には1、テト には-1、ナ には3が入ります。

3. 最終的な答え

サ: $-\frac{1}{3}$

シ: 4

ソ: 8

タ: 1

チ: 4

ツ: 1

テト: -1

ナ: 3