## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。ただし、(1)から(5)までは偏角 $\theta$ の範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ とし、(6)と(7)では $-\pi < \theta \le \pi$ とします。

## 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ を極形式で表すには、まず絶対値 $r$ を求めます。

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

次に、偏角 $\theta$ を求めます。偏角 $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{a}{r}$ と $\sin \theta = \frac{b}{r}$ を満たす角です。 問題文で指定された範囲に注意して $\theta$ を決定します。

最後に、極形式 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ で表します。

以下、各問題について具体的に解いていきます。

(1) $z = -1 + i$

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{3}{4}\pi$

したがって、$z = \sqrt{2}(\cos \frac{3}{4}\pi + i \sin \frac{3}{4}\pi)$

(2) $z = -3 - \sqrt{3}i$

$r = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos \theta = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{7}{6}\pi$

したがって、$z = 2\sqrt{3}(\cos \frac{7}{6}\pi + i \sin \frac{7}{6}\pi)$

(3) $z = \sqrt{5}(1 - i) = \sqrt{5} - \sqrt{5}i$

$r = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 5} = \sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \theta = \frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{7}{4}\pi$

したがって、$z = \sqrt{10}(\cos \frac{7}{4}\pi + i \sin \frac{7}{4}\pi)$

(4) $z = -4$

$r = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4$

$\cos \theta = \frac{-4}{4} = -1$

$\sin \theta = \frac{0}{4} = 0$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \pi$

したがって、$z = 4(\cos \pi + i \sin \pi)$

(5) $z = 3i$

$r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$

$\cos \theta = \frac{0}{3} = 0$

$\sin \theta = \frac{3}{3} = 1$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、$z = 3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$

(6) $z = 2\sqrt{3} - 2i$

$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲で、$\theta = -\frac{\pi}{6}$

したがって、$z = 4(\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}))$

(7) $z = -3 - 3i$

$r = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲で、$\theta = -\frac{3}{4}\pi$

したがって、$z = 3\sqrt{2}(\cos (-\frac{3}{4}\pi) + i \sin (-\frac{3}{4}\pi))$

## 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}(\cos \frac{3}{4}\pi + i \sin \frac{3}{4}\pi)$

(2) $2\sqrt{3}(\cos \frac{7}{6}\pi + i \sin \frac{7}{6}\pi)$

(3) $\sqrt{10}(\cos \frac{7}{4}\pi + i \sin \frac{7}{4}\pi)$

(4) $4(\cos \pi + i \sin \pi)$

(5) $3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$

(6) $4(\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}))$

(7) $3\sqrt{2}(\cos (-\frac{3}{4}\pi) + i \sin (-\frac{3}{4}\pi))$