問題78では、次の各場合について、$\sqrt{x^2-6x+9}$を$x$の多項式で表す。 (1) $x-3 \ge 0$ (2) $x-3 < 0$ 問題79では、次の式を簡単にせよ。 (3) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$ (4) $\sqrt{11-4\sqrt{6}}$

1. 問題の内容

問題78では、次の各場合について、$\sqrt{x^2-6x+9}$を$x$の多項式で表す。

(1) $x-3 \ge 0$

(2) $x-3 < 0$

問題79では、次の式を簡単にせよ。

(3) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$

(4) $\sqrt{11-4\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

問題78:

まず、根号の中身を因数分解する。

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

よって、$\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$

(1) $x-3 \ge 0$ のとき、$|x-3| = x-3$

(2) $x-3 < 0$ のとき、$|x-3| = -(x-3) = -x+3 = 3-x$

問題79:

(3) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}}$

ここで、$7 = 4+3$ かつ $12 = 4 \cdot 3$ なので、

$\sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{11-4\sqrt{6}}$

$\sqrt{11-4\sqrt{6}} = \sqrt{11-2\sqrt{4 \cdot 6}} = \sqrt{11-2\sqrt{24}}$

ここで、$11 = 8+3$ かつ $24 = 8 \cdot 3$ なので、

$\sqrt{11-2\sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = |2\sqrt{2} - \sqrt{3}|$

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$\sqrt{8} > \sqrt{3}$ なので、$2\sqrt{2} - \sqrt{3} > 0$。

よって、$|2\sqrt{2} - \sqrt{3}| = 2\sqrt{2} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

問題78:

(1) $x-3$

(2) $3-x$

問題79:

(3) $2+\sqrt{3}$

(4) $2\sqrt{2} - \sqrt{3}$